ECUACIONES CUADRATICAS:

NOTA: Para poder entender bien los ejercicios es necesario tener un lenguaje correcto (matematico) asi como unas caracteristicas:

• saber leyes de los exponentes
• operaciones basicas (suma resta division multiplicacion etc.)
• saber la potenciacion y la radicalizacion
• tener ganas de aprender

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.  En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones

Las ecuaciones cuadraticas se dividen en dos tipos:

1) ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS:

Las ecuacioneas completas de segundo grado son ecuaciones de la forma que

 ax² + bx + c = 0.En ella a,b y c son los coeficientes en tanto la x es la incognita.

En este tipo de eciaciones cuadraticas hay dos tipos de recoluciones :

        

A) Formula general:

Deduccion de la formula general :

  La ecuacion es ----------------------------ax² + bx + c = 0

  Multiplicado por 4a--------------------------4a²x² + 4abx + 4ac =0

  Sumando b²   a los dos miembros--------4a²x² + 4abx + 4ac + b²=b²

  Pasando  4 ac al segundo miembro--------4a²x² + 4abx + b²=b² -  4ac

 Descompuniendo el primer miembro

 que es un trinomio cuadrado

 perfecto-----------------------------------(2ax + b) ²=b²- 4ac

Extrayendo la raiz cuadrada

a los dos miembros------------------------------2ax + b=+- raiz cuadrada de  b² - 4ac

Transponiendo b---------------------------------2ax=-b+-raiz cuadrada de b²- 4ac

Despejando x------------------------------------x=-b+-raiz cuadrada de b²- 4ac /(todo) 2a

Ejemplo:

solucionador de ecuaiones cuadraticas

B) Factorizacion:

En algebra, una factorizacion es expresar un objeto o numero (un numero compuesto,una matriz o un pilinomio etc.) como producto de otros  objetos mas pequeños (factores) que, al multiplicarlos todos, resulta el entero original

Ejemplo:

ecuacion dada-------------------------X² + 16 = 8x

se iguala a cero ----------------------X² – 8x +16 = 0

se factoriza---------------------------(x-4 ) (x-4)

se iguala a cero

cada factor--------------------------- x-4=0, x-4=0

se despeja x-------------------------X=0   x=4

a²-b² se factoriza como binomios conjugados (a - b)(a + b) y  a²+ 2ab + b² se factoriza (a+b)(a+b). Estas formulas se pueden saber mas facil con el triangulo de pascal en el cual te explica como van las formulas mientras se eleva la potencia.

(a+b)--------------------------------------------------------1-------------------------1

(a+b)¹------------------------------------------------------1 1-----------------------a+b

(a+b)²----------------------------------------------------1 2  1                         a² + 2ab + b²

(a+b)³-------------------------------------------------- 1  3  3  1--------------a³ + 3a²b+3ab²+b³

y asi sucesivamente .

2) ECUACIONES  CUADRATICAS INCOMPLETAS:

hay dos tipos de ecuaciones cuadraticas:

A)Ecuaciones de la forma  ax² + c = 0

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

            X²-16=0

Pasamos -16 al segundo miembro

       X²=16

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

         x=+/- raiz cuadrada de 16

         X₁=4

        X₂=-4

La ecuación ya está resuelta

Nota: si -c/a es un número real negativo, las raíces de la ecuación son imaginarias y pertenecerán al campo de los números complejos.

B) Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0

Tengamos:

3x²+9x=0

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

X(3x+9)=0

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

x=0    o     3x+9=0 

                     3x=-9

                      X=-9/3

                      X=-3

X₁=0     X₂=-3

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.