equipo telechubis

miércoles, 12 de enero de 2011

VIDEOS

FORMULA GENERAL
http://www.youtube.com/watch?v=xmzG2xR-oBI
FACTORIZACION
http://www.youtube.com/watch?v=FTAyKcvWFnY
FUNCION CUADRATICA.
http://www.youtube.com/watch?v=0pUnHF1FJ2s

martes, 11 de enero de 2011

Resumen

Toda función cuadrática f(x) = ax² + bx + c, representa una parábola tal que:

Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x².
Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.
Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.
Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.
Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)
Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax² + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.
La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

FUNCION CUADRATICA

Definición

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax² + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x , f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo:

f(x) = x²

f(x) = -x²

Obtención del vértice de una parábola

El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos.
Como toda función cuadrática pasa por el punto (0,c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función.

Intersección de la parábola con los ejes

Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c)
Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0.

Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

i. distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos.

ii. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).

lunes, 15 de noviembre de 2010

ECUACION EN FORMA CUADRATICA

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:
X² + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
          2
X = -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

Resolución de una ecuación mediante factorización

Resolver 3x² = 10 – x

Solución

Para usar el método de factorización, es esencial que sólo aparezca el número 0 en un lado de la ecuación. Por lo tanto, se procede como sigue:

3x²	=	10 – x	ecuación dada
3x²+ x – 10	=	0	se suma x – 10
(3x – 5)(x + 2)	=	0	se factoriza
3x – 5=0, x+2=0	=	0	se iguala a 0 cada factor
x=x	=	– 2	se despeja x

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada son

y – 2.

Resolución de una ecuación por factorización

Resolver x²+ 16 = 8x.

Solución

Se procede como en el Ejemplo anterior:

x²+ 16	=	8x	ecuación dada
x² – 8x + 16	=	0	se resta 8x
(x – 4)(x – 4)	=	0	se factoriza
x – 4 = 0, x – 4	=	0	se iguala a 0 cada factor
x = 0, x	=	4	se despeja x

de este caso tiene una solución, 4.Entonces, la ecuación cuadrática

Puesto que x – 4 aparece como factor dos veces en la solución anterior, decimos que 4 es raíz doble, o que es raíz de multiplicidad 2, de la ecuación x²+ 16 = 8x.

Si una ecuación cuadrática tiene la forma x² = d, para cierta d > 0, entonces x²– d = 0, o, en forma equivalente,

Igualando cada factor a cero, se obtienen las soluciones

. Con frecuencia se utiliza el símbolo

(más menos d) para representar tanto

como

. Así, para d > 0, se ha demostrado el siguiente resultado. (El caso d < 0 requiere del sistema de números complejos.)

Números Complejos

Números Complejos :
Ecuaciones cuadráticas sencillas como x² + 1 = 0 y x² + 4x + 8 = 0 no tienen solución en el sistema de los números reales. Pero introduciendo los números complejos, todas las ecuaciones cuadráticas tienen solución. Es más, en el sistema de los números complejos, toda ecuación algebraica de la forma

a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a₁x + a₀ = 0

tiene soluciones.
Definimos que el símbolo i denota un número que cumpla la ecuación x² + 1 = 0 $\Longrightarrow$ i² = - 1 $\Longrightarrow$ i = $\sqrt{-1}$
Por definición, el sistema de los números complejos es el conjunto de símbolos de la forma a + bi, donde a y b son números reales. El número a es la parte real y b la parte imaginaria del número complejo.
$\mathbb {C}$ = $\left\{\vphantom{ a+bi\quad/\quad a,b\in\mathbb{R}}\right.$ a + bi / a, b $\in$ $\mathbb {R}$ $\left.\vphantom{ a+bi\quad/\quad a,b\in\mathbb{R}}\right\}$
Se define la suma de complejos como:

$\displaystyle \left(\vphantom{ a+bi}\right.$ a + bi $\displaystyle \left.\vphantom{ a+bi}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{ c+di}\right.$ c + di $\displaystyle \left.\vphantom{ c+di}\right)$ = (a + c) + (b + d )i

Se define el producto de complejos como:

$\displaystyle \left(\vphantom{ a+bi}\right.$ a + bi $\displaystyle \left.\vphantom{ a+bi}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ c+di}\right.$ c + di $\displaystyle \left.\vphantom{ c+di}\right)$ = (ac - bd )+ (ad + bc)i

Por ejemplo: Las soluciones de x² + 1 = 0 $\Longrightarrow$ x = ±i
x² + 4x + 8 = 0 $\Longrightarrow$ x = ${\dfrac{-4\pm\sqrt{16-32}}{2}}$ = ${\dfrac{-4\pm \sqrt{-16}}{2}}$ = ${\dfrac{-4\pm4i}{2}}$ = - 2±2i

viernes, 3 de septiembre de 2010

ECUACIONES CUADRATICAS:

NOTA: Para poder entender bien los ejercicios es necesario tener un lenguaje correcto (matematico) asi como unas caracteristicas:

saber leyes de los exponentes
operaciones basicas (suma resta division multiplicacion etc.)
saber la potenciacion y la radicalizacion
tener ganas de aprender

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones

Las ecuaciones cuadraticas se dividen en dos tipos:

1) ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS:

Las ecuacioneas completas de segundo grado son ecuaciones de la forma que

ax² + bx + c = 0.En ella a,b y c son los coeficientes en tanto la x es la incognita.

En este tipo de eciaciones cuadraticas hay dos tipos de recoluciones :

A) Formula general:

Deduccion de la formula general :

La ecuacion es ----------------------------ax² + bx + c = 0

Multiplicado por 4a--------------------------4a²x² + 4abx + 4ac =0

Sumando b² a los dos miembros--------4a²x² + 4abx + 4ac + b²=b²

Pasando 4 ac al segundo miembro--------4a²x² + 4abx + b²=b² - 4ac

Descompuniendo el primer miembro

que es un trinomio cuadrado

perfecto-----------------------------------(2ax + b)²=b²- 4ac

Extrayendo la raiz cuadrada

a los dos miembros------------------------------2ax + b=+- raiz cuadrada de b²- 4ac

Transponiendo b---------------------------------2ax=-b+-raiz cuadrada de b²- 4ac

Despejando x------------------------------------x=-b+-raiz cuadrada de b²- 4ac /(todo) 2a

Ejemplo:

solucionador de ecuaiones cuadraticas

B) Factorizacion:

En algebra, una factorizacion es expresar un objeto o numero (un numero compuesto,una matriz o un pilinomio etc.) como producto de otros objetos mas pequeños (factores) que, al multiplicarlos todos, resulta el entero original

Ejemplo:

ecuacion dada-------------------------X²+ 16 = 8x

se iguala a cero ----------------------X² – 8x +16 = 0

se factoriza---------------------------(x-4 ) (x-4)

se iguala a cero

cada factor--------------------------- x-4=0, x-4=0

se despeja x-------------------------X=0 x=4

a²-b² se factoriza como binomios conjugados (a - b)(a + b) y a²+ 2ab + b²se factoriza (a+b)(a+b). Estas formulas se pueden saber mas facil con el triangulo de pascal en el cual te explica como van las formulas mientras se eleva la potencia.

(a+b)--------------------------------------------------------1-------------------------1

(a+b)¹------------------------------------------------------1 1-----------------------a+b

(a+b)²----------------------------------------------------1 2 1 a² + 2ab + b²

(a+b)³-------------------------------------------------- 1 3 3 1--------------a³ + 3a²b+3ab²+b³

y asi sucesivamente .

2) ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS:

hay dos tipos de ecuaciones cuadraticas:

A)Ecuaciones de la forma ax² + c = 0

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

X²-16=0

Pasamos -16 al segundo miembro

X²=16

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

x=+/- raiz cuadrada de 16

X₁=4

X₂=-4

La ecuación ya está resuelta

Nota: si -c/a es un número real negativo, las raíces de la ecuación son imaginarias y pertenecerán al campo de los números complejos.

B) Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0

Tengamos:

3x²+9x=0

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

X(3x+9)=0

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

x=0 o 3x+9=0

3x=-9

X=-9/3

X=-3

X₁=0 X₂=-3

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.